बिंदु $A$ से $D$ तक सबसे छोटे पथों की संख्या (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) है:

यदि समांतर चतुर्भुज बनाने वाली समांतर रेखाओं के दो सेटों में से प्रत्येक में $m$ समांतर रेखाएँ हैं,तो बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या क्या है?

मान लीजिए $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{15}$ एक वृत्त पर $15$ बिंदु हैं। बिंदुओं $P_{i}, P_{j}, P_{k}$ द्वारा निर्मित उन भिन्न त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $i+j+k \neq 15$ है:

$2$ ढाल वाली रेखा $L_1$ और $\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा $L_2$ मूल बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रथम चतुर्थांश में,$P_1, P_2, \ldots, P_{12}$ रेखा $L_1$ पर $12$ बिंदु हैं और $Q_1, Q_2, \ldots, Q_9$ रेखा $L_2$ पर $9$ बिंदु हैं। तो $22$ बिंदुओं $(O, P_1, P_2, \ldots, P_{12}, Q_1, Q_2, \ldots, Q_9)$ में से तीन बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या क्या है?

समतल में स्थित $10$ बिंदुओं में से कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं और $4$ बिंदु एकवृतीय (concyclic) हैं। इन बिंदुओं में से कम से कम $3$ बिंदुओं का उपयोग करके कितने भिन्न वृत्त खींचे जा सकते हैं?

$10$ समांतर रेखाओं के एक समूह को $m$ समांतर रेखाओं के दूसरे समूह द्वारा काटा जाता है। यदि इन दो रेखाओं के समूहों द्वारा बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या $675$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए: